1 вариант
1,Даны векторы a ⃗ {1;6}, b ⃗ {-5;7}. Найдите координаты векторов c ⃗ = 2a ⃗ + b ⃗ и d ⃗ = b ⃗ − a ⃗.
2,Найдите среди векторов a ⃗ {2;1,5}, b ⃗ {3;-1}, c ⃗ {4,4;3,3}, d ⃗ {-15;5} пары коллинеарных.
3,Даны векторы a ⃗ {1;4}, b ⃗ {1;2}, c ⃗ {7;2}. Запишите разложение вектора d ⃗ = 3a ⃗ − 2b ⃗ + c ⃗ по координатным векторам i ⃗ и j ⃗.
4.В треугольнике АВС (AB) ⃗ {-1;1}, (AC) ⃗ {-4;2}. Запишите разложение вектора (AO) ⃗ по координатным векторам i ⃗ и j ⃗, если точка О есть точка пересечения медиан треугольника АВС .
5.Найдите координаты середины отрезка с концами А(1; 3), В(3; 1).
6.Точка А лежит на положительной полуоси абсцисс и удалена от начала координат на 2. Точка В имеет координаты (14; 5). Найдите расстояние АВ.
7.Треугольник задан координатами своих вершин А(4; 2), В(0; − 6), С( − 4; − 2). Докажите, что этот треугольник равнобедренный.
8.Даны точки А(1; 2) и В(0; 0). Найдите координаты точки С, если известно, что точка В есть середина отрезка АС.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

a ⃗ = {1;6}
b ⃗ = {-5;7}
c ⃗ = 2a ⃗ + b ⃗ = {21 - 5; 26 + 7} = {-3;19}
d ⃗ = b ⃗ − a ⃗ = {-5 - 1; 7 - 6} = {-6;1}

Пары коллинеарных векторов:
a ⃗ и b ⃗ коллинеарны, так как a ⃗ = k * b ⃗, где k = 0.5
a ⃗ и c ⃗ не коллинеарны
a ⃗ и d ⃗ не коллинеарны
b ⃗ и c ⃗ не коллинеарны
b ⃗ и d ⃗ не коллинеарны
c ⃗ и d ⃗ не коллинеарны

d ⃗ = 3a ⃗ − 2b ⃗ + c ⃗
d ⃗ = 3{1;4} − 2{1;2} + {7;2}
d ⃗ = {3;12} − {2;4} + {7;2} = {3 - 2 + 7; 12 - 4 + 2} = {8;10}

Пусть O - точка пересечения медиан треугольника АВС. Тогда координаты точки O равны средним арифметическим координат вершин треугольника:
x = (1 - 4) / 3 = -1
y = (1 + 2) / 3 = 1

Таким образом, координаты точки O равны {-1;1}

Координаты середины отрезка АВ:
x = (1 + 3) / 2 = 2
y = (3 + 1) / 2 = 2

Следовательно, середина отрезка АВ имеет координаты {2;2}.

Расстояние между точками A и B:
AB = √((14 - 1)² + (5 - 3)²) = √(169 + 4) = √173

Длины сторон треугольника:
AB = √((0 - 4)² + (0 + 6)²) = √52
AC = √((4 + 4)² + (2 + 2)²) = √32
BC = √((-4)² + (-6)²) = √52

Таким образом, треугольник равнобедренный, так как AB = BC.

Так как точка В является серединой отрезка АС, то координаты точки C равны удвоенным координатам точки B и уменьшенным на координаты точки A:
x = 20 - 1 = -1
y = 20 - 2 = -2

Следовательно, координаты точки C равны {-1;-2}.