В равнобедренном треугольнике Abc с углом 120° радиус описанной окружности равен [tex]6 \sqrt{2} [/tex]Найдите расстояние между центрами вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностей

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть радиус вписанной окружности равен r, а высота треугольника равна h. Тогда
[ r = \frac{S}{p} = \frac{h \cdot AB}{AB + BC + AC} = \frac{h \cdot 2AB}{2AB + BC} = \frac{h}{1 + \frac{BC}{2AB}} ]

Так как треугольник равнобедренный, то AB = AC, значит, ( BC = 2 \cdot AB ).
Таким образом,
[ r = \frac{h}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{2h}{3} ]

Также из равнобедренности треугольника ( \angle A = \angle C = (180 - 120)/2 = 30 ) градусов, и у нас есть прямоугольный треугольник:
[ \sin 30 = \frac{r}{AB}, ]
[ \frac{1}{2} = \frac{r}{AB}, ]
[ AB = 2r = \frac{4}{3}h ]

По теореме Пифагора для треугольника ABO:
[ AO^2 = AB^2 + BO^2, ]
[ (r+h)^2 = \left(\frac{4}{3}h\right)^2 + r^2, ]
[ r^2 + 2rh + h^2 = \frac{16}{9}h^2 + r^2, ]
[ 2rh = \frac{7}{9}h^2, ]
[ h = \frac{9r}{14}. ]

Из уравнения для r получаем:
[ r = \frac{2}{3} \cdot \frac{9r}{14}, ]
[ r = \frac{3}{7}h ]

( AO = r + h = \frac{17}{7}r = \frac{17r}{7} = \frac{17}{7} \cdot 6\sqrt{2} = 102\sqrt{2}/7 ).