Диагонали прямого параллелепипеда образуют с плоскостью основания углы 30 гр. и 45 гр., а стороны основания равны 6 и 8 см. Вычислите площадь боковой и полной поверхности параллелепипеда.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть диагонали прямоугольного параллелепипеда равны d1 и d2, а стороны основания равны a и b.

По условию, углы между диагоналями и плоскостью основания равны 30° и 45°. Тогда с помощью тригонометрических функций найдем длины диагоналей:

cos 30° = d1 / a,
d1 = a * cos 30°.

cos 45° = d2 / b,
d2 = b * cos 45°.

Так как у нас прямоугольный параллелепипед, то диагонали образуют прямой угол:

d = sqrt(d1^2 + d2^2).

Подставим найденные значения d1 и d2:

d = sqrt((a cos 30°)^2 + (b cos 45°)^2).

Используя соотношения sin 30° = 1/2 и sin 45° = sqrt(2)/2, найдем значения cos 30° и cos 45°:

cos 30° = sqrt(3)/2,
cos 45° = sqrt(2)/2.

Подставим найденные значения cos 30° и cos 45° в формулу для д:

d = sqrt((a sqrt(3)/2)^2 + (b sqrt(2)/2)^2),
d = sqrt(3a^2/4 + 2b^2/4),
d = sqrt(3a^2 + 2b^2)/2.

Площадь боковой поверхности параллелепипеда равна ab:

Sбок = a b = 6 8 = 48 см^2.

Площадь полной поверхности параллелепипеда можно найти как сумму площадей всех шести прямоугольников, из которых он состоит. Для этого сложим площадь боковой поверхности с площадями двух оснований:

Sполн = 2(ab + ad1 + bd2),
Sполн = 2(48 + 6 (sqrt(3) 6/2) + 8 (sqrt(2) 8/2)),
Sполн = 2(48 + 6 3sqrt(3) + 8 4sqrt(2)),
Sполн = 2(48 + 18sqrt(3) + 32sqrt(2)),
Sполн = 2(48 + 181.732 + 321.414),
Sполн = 2(48 + 31.776 + 45.248),
Sполн = 2(125.024),
Sполн = 250.048 см^2.

Итак, площадь боковой поверхности параллелепипеда равна 48 см^2, а площадь полной поверхности параллелепипеда равна 250.048 см^2.