Найдите площадь прямоугольного треугольника если радиус вписанной в него окружности r=2 см а радиус описанной окружности R= 5 см

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для прямоугольного треугольника, вписанного в круг радиуса r и описанного вокруг круга радиуса R, выполняются следующие соотношения:

где a и b - катеты треугольника.

Радиус вписанной окружности связан с катетами следующим образом:
r = (a + b - c) / 2,
где c - гипотенуза треугольника.

Радиус описанной окружности связан с катетами следующим образом:
R = c / 2.

Из условия задачи:
r = 2 см
R = 5 см

Из уравнения r = (a + b - c) / 2 и R = c / 2 получаем:
2 = (a + b - c) / 2,
5 = c / 2.

Решаем систему уравнений:

a + b = 2c,
c = 10.

Так как треугольник прямоугольный, то по теореме Пифагора:
a^2 + b^2 = c^2.

Возведем a + b = 2c в квадрат:
(a + b)^2 = (2c)^2,
a^2 + 2ab + b^2 = 4c^2,
a^2 + b^2 = 4c^2 - 2ab.

Подставляем c = 10:
a^2 + b^2 = 100 - 2ab.

Заменяем a^2 + b^2 по формуле площади:
S = (100 - 2ab) / 2 = 50 - ab.

Таким образом, площадь прямоугольного треугольника равна 50.