В треугольнике ABC точки K и L расположены соответственно на продолжениях сторон AB и BC так, что BK=AB, CL=BC, прямые KL и AC пересекаются в точке M. Найти отношение AM:AC.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку BK=AB и CL=BC, значит треугольники ABK и BKC равнобедренные.
Отсюда следует, что углы ABC и BAC равны.

Также из равенства треугольников ABC и KLC следует, что углы ABC и KLC равны, а углы ACB и LCK равны.

Из подобия треугольников ABC и KLC можно записать:
AK/AB = KL/BC
KL = AK * BC / AB

Из подобия треугольников ABM и BCM можно записать:
BM/CM = AB/BC
BM = AB*CM / BC

Так как треугольники оба подобны треугольнику KLC, то LM должно быть соответственно равно CM

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABM:
bm^2 + AM^2 = AB^2
bm = AB - BM (из ограничений задачи)

(AB - BM)^2 + AM^2 = AB^2
AB^2 - 2AB*BM + BM^2 + AM^2 = AB^2

2ABBM + BM^2 + AM^2 = 0
2ABBM = BM^2 + AM^2
2AB (ABCM / BC) = (ABCM / BC)^2 + AM^2
2AB^2CM / BC = (ABCM)^2 / BC^2 + AM^2
2AB^2CM / BC = AB^2 CM^2 / BC^2 + AM^2
выносим общий множитель (ABCM / BC) и упрощаем
2AB/BC CM = AM^2
AM = √(2AB/BC CM) = √(2AB/BC (BC/AB) AB) = √4 = 2

AM:AC = 2:1

Ответ: отношение AM к AC равно 2:1.