В равнобедренном тупоугольном треугольнике АВС с основанием АС проведена биссектриса АD. На основании АС отмечена точка F так, что DF=FC. Доказать, что ВD=FC

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Доказательство:

Пусть угол CAB = угол ABC = α, угол BAC = β.Так как треугольник ABC равнобедренный, то угол ACB = α, угол ABC = α.Так как AD - биссектриса угла CAB, то угол CAD = угол BAD = β/2.Так как FD = FC, то угол FCD = угол FDC = х.В прямоугольном треугольнике FCD с углом х имеем, что угол FCD + угол DCF + угол CDF = 180°.Подставляем значения углов: х + α + х = 180°, откуда х = (180° - α)/2.В треугольнике BCD угол BCD = 180° - 2α, угол CDB = α, угол CBD = β/2 + α.Так как угол DCF = х = (180° - α)/2, то угол DCF = β/2 + α.Поскольку угол CDB = α, а угол CBD = β/2 + α, то углы BCD и BAF равны, а значит треугольники BCD и BAF подобны.Следовательно, BD/FA = CD/AF. Учитывая, что AF = FC, получаем, что BD = CD.Значит, BD = FC.