Точка М лежит на окружности радиуса R, описанной около прямоугольника ABCD.
Докажите, что МА^2+ МВ^2+ МС^2+ МD^2= 8R^2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Применим теорему Пифагора к треугольникам MAB, MBC, MCD, MDA:

MA^2 = MB^2 + AB^2
MB^2 = MC^2 + BC^2
MC^2 = MD^2 + CD^2
MD^2 = MA^2 + AD^2

Так как прямоугольник ABCD описан около окружности радиуса R, то AB = CD = 2R и BC = AD = 2R.

Подставим значения AB, BC, CD, AD в уравнения для MA^2, MB^2, MC^2, MD^2:

MA^2 = MB^2 + 4R^2
MB^2 = MC^2 + 4R^2
MC^2 = MD^2 + 4R^2
MD^2 = MA^2 + 4R^2

Сложим все уравнения:

MA^2 + MB^2 + MC^2 + MD^2 = 2(MA^2 + MB^2 + 4R^2) = 2(MB^2 + MC^2 + 4R^2) = 4(MC^2 + MD^2 + 4R^2) = 8R^2

Таким образом, доказано, что MA^2 + MB^2 + MC^2 + MD^2 = 8R^2.