Углы прямоугольного треугольника образуют арифметическую прогрессию. Найдите биссектрису большего острого угла треугольника, если радиус описанной около него окружности равен 10.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть углы треугольника равны a, a+d, a+2d, где d - шаг арифметической прогрессии.
Так как сумма углов треугольника равна 180 градусам, то
a + a + d + a + 2d = 180,
3a + 3d = 180,
a + d = 60.

Так как биссектриса острого угла треугольника делит его на два равных по величине угла, то она делит угол a на два угла в 30 градусов.

Также известно, что радиус описанной около угла окружности равняется 10. Рассмотрим равнобедренный треугольник, вершина которого - вершина угла, биссектрису которого мы ищем, а катеты треугольника - радиус окружности:

tg 30 = 10 / x, где x - длина биссектрисы.

x = 10 / tg 30 = 10 / (sqrt(3) / 3) = 30 / sqrt(3) = 10 * sqrt(3).

Ответ: биссектриса большего острого угла треугольника равна 10 * sqrt(3).