Дан треугольник A B C и H — точка пересечения высот этого треугольника. Пусть D — середина отрезка B C , E — середина отрезка А С . Кроме того, медианы треугольника A E D пересекаются в точке H . Найдите градусную меру угла ∠ A B C . Ответ укажите с точностью до десятитысячных.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим через M точку пересечения медиан треугольника A E D и через N точку пересечения медиан треугольника B D E .

Так как точка H — точка пересечения высот треугольника A B C , то треугольник A B C подобен треугольнику A M H .

Рассмотрим треугольник A E D . Так как точка H — точка пересечения медиан, то точка H делит медиану D E в отношении 2:1. Следовательно, H E = 2/3 * E D .

Аналогично, так как точка M — точка пересечения медиан, то точка M делит медиану B D в отношении 2:1. Следовательно, M B = 2/3 * B D .

Так как треугольники A E D и B D E подобны, то E D = 2 * D E .

Из полученных соотношений:

2/3 E D = 2 D E
E D = 2 * E D
E D = D E /2

2/3 B D = 2 M B
B D = 3 * M B /2

H E = 2/3 E D = 2/3 D E /2 = 1/3 * D E
H E = D E /3

По условию, B M = M D , а B D = 3 * M B /2. Таким образом, B M = B D /3.

Так как B M = M D и B M = B D /3, то M D = B D /3.

Но M D = A C /2, так как точка M — середина стороны A C .

Из полученного следует, что A C = 2 * B D .

Так как A C = 2 B D и A B = 2 A C , то A B = 4 * B D .

Из данных соотношений вытекает, что отношение стороны A B к стороне B C равно 4:1.

Теперь рассмотрим треугольник A B C . Пусть α — градусная мера угла A B C .

В этом треугольнике сумма углов равна 180 градусам: α + 90 + (180 - 90 - α) = 180

Решив уравнение, получим: α = 60 градусов.

Таким образом, градусная мера угла ∠ A B C равна 60 градусам.