Прямоугольник со сторонами a и b вращают вокруг той оси который проходить через один из его вершин и параллельно диагонали . Найти площадь поверхности тела вращения.Ответ [tex] \frac{4 \pi ab(a+b)}{ \sqrt{a^{2} + b^{2} } } [/tex]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем длину окружности, по которой будет вращаться прямоугольник. Она равна (2\pi a).

Теперь найдем площадь поверхности тела вращения. Для этого нужно сложить площадь боковой поверхности и площадь двух оснований.

Площадь боковой поверхности
( S_{б} = 2\pi a \cdot b)

Площадь первого основания
При вращении прямоугольника нашей фигуры будет принимать форму эллипсоида. Площадь такого эллипсоида можно найти по формуле
( S_{1} = \pi ab)

Площадь второго основания
Так как фигура симметрична, то и площадь второго основания будет такой же
( S_{2} = \pi ab)

Итого, площадь поверхности тела вращения
( S = S{б} + S{1} + S_{2} = 2\pi a \cdot b + 2\pi ab = 2\pi ab(a + b))

Теперь действительно необходимо делить результат на (\sqrt{a^{2} + b^{2}}) - получится окончательный результат
[ \frac{2\pi ab(a + b)}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} = \frac{4\pi ab(a + b)}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} ]

Ответ: (\frac{4\pi ab(a + b)}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}})