1. Периметр параллелограмма 50 см. Одна из его сторон на 5 см больше другой. Найдите длины сторон параллелограмма. 2. Найдите угол между диагоналями прямоугольника, если каж­дая из них делит угол прямоугольника в отношении 3:6. 3. Найдите углы параллелограмма, если одна из его диагоналей является высотой и равна одной из его сторон. 4. В трапеции ABCD диагональ BD перпендикулярна боковой стороне АВ, ADB = BDC = 30°. Найдите длину BC и AD, если периметр трапеции равен 80 см. 5*. В параллелограмме ABCD биссектрисы углов ABC и BCD пе­ресекаются в точке М1. На продолжении прямых АВ и CD взяты точки К и Р так, что А− В− К, D− С− Р. Биссектрисы углов КВС и ВСР пересекаются в точке М2, М1M2 = 8 см. Найдите AD.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть одна сторона параллелограмма равна x см, тогда вторая сторона будет x + 5 см. По условию периметр равен 50 см, значит:

2(x + x + 5) = 50
2(2x + 5) = 50
4x + 10 = 50
4x = 40
x = 10

Таким образом, первая сторона равна 10 см, а вторая - 15 см.

Пусть угол между диагоналями прямоугольника равен х градусов. Тогда, используя отношение 3:6, углы прямоугольника будут равны 30° и 60°. Сумма углов в прямоугольнике равна 360°, следовательно, х + 30 + 60 + 90 = 360. Отсюда находим, что х = 180°.

Поскольку одна из диагоналей параллелограмма является высотой и равна одной из его сторон, то это значит, что параллелограмм является ромбом. У ромба все углы равны между собой, поэтому в данном случае все углы параллелограмма будут равны 90°.

Из условия видим, что треугольник ADB равнобедренный, поэтому углы ABD и ADB равны между собой. Так как ADB = 30°, то и BDC = 30°. Также из условия видим, что AC является высотой трапеции, поэтому AC = AB. Из этого следует, что треугольники ABC и BCD равны по сторонам и углам.

Теперь можем составить уравнение по периметру трапеции: AD + BC + AB + DC = 80. Подставляем известные значения и найдем AD и BC.

Дано, что M1M2 = 8 см. Поскольку M1M2 - это биссектриса угла BCD, то угол КВС равен 90°. Так как угол ВСР тоже равен 90°, то треугольник KVS равнобедренный и угол VKS = 45°.

Из треугольника ABC следует, что угол M1AB = 45°, поскольку M1 это точка пересечения биссектрис угла ABC и BCD.

Таким образом, угол BCD = 90°, а угол CAB равен 90°. Следовательно, ACD - прямой угол.
S(VSC) = S(VSR), BC = CR.
S(KVA) = S(KVB), AK = KB, т.к. S(KVA)=S(KVB);
Таким образом, AD = KB + BC = KB + CR = AK + CR = AC = DC.