Докажите, что высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства этого утверждения рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC.

Высота, проведенная к основанию, делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника.

Рассмотрим треугольник ABC. Пусть высота, проведенная из вершины A, пересекает сторону BC в точке H. Тогда треугольники ABH и ACH будут подобны по двум углам, так как у них равны углы при вершине A и прямые углы при основании. Таким образом, углы ABH и ACH также равны.

Так как AB = AC, у треугольников ABH и ACH равны соответствующие стороны (AB = AC) и углы(угол ABH = угол ACH).

Следовательно, треугольники ABH и ACH равны по стороне и двум углам. Из этого следует, что BH = CH, то есть высота, проведенная к основанию, делит сторону BC пополам.

Высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

Так как высота, проведенная к основанию, делит сторону BC пополам, она также является медианой треугольника ABC.

Также, так как высота, проведенная к основанию, перпендикулярна стороне BC и проходит через вершину треугольника, она делит угол при вершине A пополам. Следовательно, высота, проведенная к основанию, также является биссектрисой угла при вершине A.

Таким образом, высота равнобедренного треугольника, проведенная к его основанию, одновременно является и медианой, и биссектрисой.