Дан треугольник АВС с периметром 30 см, АК - его медиана. Периметр треугольника АВК = 18 см, периметр АСК = 24 см. Найдите длину медианы АК.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим стороны треугольника ABC как AB = a, BC = b, AC = c. Периметр треугольника ABC равен 30 см, значит a + b + c = 30.

Так как медиана делит сторону треугольника пополам, то AK = KC = c/2.

Из условия периметра треугольников ABK и AKC получаем систему:

a + b + c/2 = 18,
a + c + b/2 = 24.

Преобразуем последние два уравнения для удобства:

2a + 2b + c = 36,
2a + 2c + b = 48.

Вычтем первое из второго:

c - b = 12.

Также знаем, что a + b + c = 30. Подставим в это уравнение выражение c - b = 12:

a + b + (b + 12) = 30,
2b = 18,
b = 9.

Теперь найдем длину медианы AK. Так как AK = KC = c/2, исходя из уравнения b = 9, имеем c = 18. Таким образом, AK = KC = 18/2 = 9.

Итак, длина медианы AK равна 9 см.