В равнобокой трапеции один из углов равен 120°, диагональ трапеции образует с основанием угол 30°. Найдите основания трапеции, если ее боковая сторона равна 5 см

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим основания трапеции через a и b. Так как у нас дан равнобокая трапеция, то можно заметить, что углы при основаниях равны между собой, так как они смежные.

Поскольку один из углов трапеции равен 120°, то другой угол при основании равен 60°, так как сумма углов в треугольнике равна 180°.

Теперь рассмотрим треугольник, образованный половиной диагонали и основанием трапеции. У нас есть угол между диагональю и основанием равный 30° и угол при основании равный 60°. Найдем третий угол этого треугольника:

180° - 30° - 60° = 90°

Таким образом, данный треугольник является прямоугольным.

Поделим его на два прямоугольных треугольника:

1) Прямоугольный треугольник с углами 30°, 60° и основанием 'а'
2) Прямоугольный треугольник с углами 30°, 60° и основанием 'b'

Рассмотрим первый треугольник. По теореме синусов:

( \frac {a}{\sin 30°} = \frac {5}{\sin 60°} )

( a = 5 \cdot \frac {\sin 30°}{\sin 60°} = 5 \cdot \frac {1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac {5}{\sqrt{3}} )

( a = \frac {5 \sqrt{3}}{3} )

Аналогично для второго треугольника:

( b = 5 \cdot \frac {\sin 30°}{\sin 60°} = \frac {5}{\sqrt{3}} = \frac {5 \sqrt{3}}{3} )

Итак, основания трапеции равны ( \frac {5 \sqrt{3}}{3} ) см.