В прямоугольном треугольнике DEF (уголD=90 градусов) проведена высота DP. Докажите, что квадрат со стороной DP равновелик прямоугольнику со сторонами EP и FP

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что треугольник DEF и прямоугольник с разностью сторон EP и FP равновелики, так как у них есть общий шар прямоугольник DPEF. Значит, достаточно доказать, что квадрат со стороной DP равновелик прямоугольнику DPEF.

Пусть DP = x. Тогда EP = FB = y, так как DP перпендикулярна к EF и EP = FP перпендикулярна к ED.

Площадь квадрата со стороной DP равна x^2. Площадь прямоугольника DPEF равна x*y.

Таким образом, если мы докажем, что x^2 = x*y, то мы и докажем равновеличие квадрата и прямоугольника.

Нам известно, что EP = y и DP = x, из чего следует, что у треугольника EDP угол EDP = 90 градусов и три стороны соответственно EP = FB = y, DP = x и ED = DF. Значит, данный треугольник прямоугольный, что дает нам DE^2 = DP * EP (по теореме Пифагора).

Применяя эту формулу, получаем (EF - y)^2 = DP y. Раскроем скобки (EF - y)^2 = EF^2 - 2EFy + y^2 => EF^2 - 2EFy + y^2 = DPy => (EF - y)^2 = DPy. Учитывая, что EF = x и DP = x, получаем х^2 = xy.

Таким образом, квадрат со стороной DP равновелик прямоугольнику DPEF, что и требовалось доказать.