В треугольнике АВС, АВ = АС. Медиана к боковой стороне делит высоту, проведённую к основанию, на отрезки, больший из которых равен 8. Найдите длину этой высоты.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть точка M - середина стороны ВС, а точка H - основание высоты из вершины А.

Так как медиана делит высоту на отрезки, то можно записать:

AH = 2HM = 16.

Так как треугольник прямоугольный, то мы можем использовать теорему Пифагора:

AB^2 + AH^2 = BH^2
AB^2 + 16^2 = \frac{BC^2}{4}.

Так как АВ = АС, то AB = AC, значит:

2AB^2 + 256 = \frac{BC^2}{4}.

Так как BH = HC, то:

BH = HC = \frac{BC}{2}.

Тогда:

4BH^2 = BC^2
BC^2 = 4BH^2 = 4BM^2 + 4MH^2
BC^2 = 4(BC^2/16 + 64)
BC^2 = BC^2 + 256.

Отсюда получаем, что BC = 16.

Теперь можем найти длину высоты, проведённой из вершины А:

AH = 16 / 2 = 8.

Таким образом, длина высоты равна 8.