В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD (S - вершина)
SA = 2AB . Перпендикуляр, опущенный из точки В на ребро SD, пересекает его в точке К. На апофеме SF грани SAB взята точка М так, что
SM : SF = 4 : 5. Сфера с центром на прямой МК проходит через точки В,
К и пересекает прямую АВ в точке Р, причём
BP=d . Найдите длину
отрезка АВ.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим сторону основания четырёхугольной пирамиды SABCD за x. Так как SA = 2AB, то AB = x/2 и SA = 2x. Также обозначим перпендикуляр КВ за h. Так как VK перпендикулярен SD и VKH ~ VKB, то VK/2 = BH. Так как VK = h, то BH = h/2. Таким образом, ребро пирамиды SD равно 2h. Так как SM : SF = 4 : 5, то SM = 4k, SF = 5k, и AM = x - 5k.

Так как сфера проходит через точки В, К, и центр сферы находится на прямой МК, то радиус сферы равен BV = 2h. Для того чтобы найти длину отрезка АВ, обозначим длину BV за r. Из правильного треугольника ВКС и ВС, мы имеем, что VK = VK = h, VK = r. Тогда из прямоугольного треугольника ВКМ равенства VK^2 + KM^2 = MV^2.

Таким образом, (2h)^2 + (5k + h)^2 = (4k + 2h)^2.
Разрешая это уравнение, получим h = x/7, k = x/21.

Теперь мы можем найти длину отрезка AB:
AB = x/2 = 21h/2 = 3h.