В параллелограмме МKNZ диагонали пересекаются в точке О. Докажите, что четырехугольник ABCD, вершинами которого являются середины отрезков OM, OK, ON и OZ – параллелограмм. С РИСУНКОМ

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства того, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, достаточно показать, что его противоположные стороны равны и параллельны.

Обозначим середины отрезков OM, OK, ON и OZ как A, B, C и D соответственно. Тогда рассмотрим треугольники OMK и ONZ.

Так как точка O является точкой пересечения диагоналей параллелограмма MKNZ, то отрезок OM будет делить диагональ KN пополам, а отрезок ON – диагональ KM пополам. Следовательно, AB и CD являются медианами треугольника KZN, а BC и AD – медианами треугольника KMO.

Из свойств медиан треугольника следует, что они пересекаются в одной точке (в данном случае – в точке О) и делятся в отношении 2:1.

Таким образом, отрезки AB и CD равны и параллельны диагоналям параллелограмма MKNZ, а отрезки BC и AD равны и параллельны другой паре диагоналей. Следовательно, четырехугольник ABCD является параллелограммом.