В параллелограмме MKNZ диагонали пересекаютсч в точке О . Докажите что четырех угольник АВСD , вершинами которого являются середины отрезков ОМ , ОК , ON и OZ - параллелограмм

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что так как MKNZ - параллелограмм, то диагонали MN и KZ пересекаются в их точке пересечения O в середине.

Пусть P и Q - середины отрезков MK и NZ соответственно.

Так как O - середина диагонали MZ, то по свойству серединного перпендикуляра OP и OQ -> перпендикуляры к параллельным прямым MK и NZ соответственно.

Значит, прямая PQ параллельная MK и NZ.

Теперь заметим, что из построения отрезки ОМ, ОК, ОN и OZ являются медианами параллелограмма MKNZ, и точка O - точка их пересечения.

Таким образом, по свойству медиан в четырехугольнике, если отрезки объединяющие середины противоположных сторон параллелограмма являются медианами их пересечение лежит в одной точке - точке О.

Итак, четырехугольник АВСD, вершинами которого являются середины отрезков ОМ, ОК, ОN и OZ, является параллелограммом.