Биссектриса AD и высота ВЕ остроугольного треугольника АВС пересекаются в
точке О. Окружность радиуса R с центром в точке О проходит через вершину А,
середину стороны АС и пересекает сторону АВ в точке К такой, что АК:КВ=1:3.
А) Докажите, что AD делит площадь треугольника АВС в соотношении 1:2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что точка О - это точка пересечения биссектрисы и высоты треугольника, следовательно, треугольник АОВ равнобедренный, а значит, угол ВАО равен углу ВОА и равен половине угла В.

Также, так как окружность с центром в точке О проходит через вершину А, то ОА равно радиусу окружности, то есть равно R.

Поскольку КА:КВ=1:3, то треугольник АКВ делится на 4 равных треугольника. Так как треугольник АКВ - подобный треугольнику АОВ (по признаку углов), то площадь треугольника АКВ составляет четверть площади треугольника АОВ.

Теперь посмотрим на треугольник ABC. Так как угол ВАО равен половине угла В, то биссектриса AD делит сторону BC на отрезки в соотношении АВ:VC=1:2.

Итак, сначала мы разделили треугольник АКВ на 4 равных треугольника. Поэтому площадь треугольника АКВ составляет 1/4 площади треугольника АОВ. Затем, так как АК:КВ=1:3, то треугольник АКВ подобен треугольнику АОВ, и его площадь составляет 1/4 площади треугольника АОВ. Следовательно, треугольник АКВ занимает 1/16 площади треугольника АОВ. Наконец, поскольку АВ:VC=1:2 и треугольник АВС делится на отрезки в соотношении 1:2, соответственно, то треугольник АВС делится на 3 равных части. Таким образом, треугольник АВС делится на 1 часть (отрезок АК) и две части (отрезок КВ), то есть в соотношении 1:2.

Таким образом, было доказано, что биссектриса AD делит площадь треугольника АВС в соотношении 1:2.