Отрезки AB и CD пересекаются в точке O так, что BO=OC=a, AO=OD=b
а) доказать, что угол ABD = углу ACD
б) найти отношения площадей треугольников площадь угла ABD на площадь угла ACD
в) доказать, что точка О середина MH, если OM и OH биссектриса треугольника AOC и треугольника BOD соответственно
г) найти радиус окружности писанной треугольника угла AOD, радиус окружности писанной около треугольника BOC

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Рассмотрим треугольники ABO и ACO. Угол ABO = угол ACO, так как оба угла равны a, а стороны AB=AC (так как это отрезки, пересекающиеся в точке O) и AO=AO (общая сторона). Следовательно, треугольники ABO и ACO подобны по признаку углов.

Из подобия треугольников следует, что угол ABD = угол ACD.

б) Пусть S1 - площадь треугольника ABO, S2 - площадь треугольника ACO, S3 - площадь треугольника BOD, S4 - площадь треугольника COB.

Так как треугольники ABO и ACO подобны, то отношение площадей S1/S2 равно отношению квадратов сторон AB/AC, то есть (AB/AC)^2 = (b/a)^2 = (S1/S2). Аналогично, для треугольников BOD и COB получаем отношение S3/S4 = (b/a)^2 = (S3/S4).

Отсюда получаем, что отношение площадей треугольников S1/S3 = S2/S4.

в) По условию, точка О лежит на биссектрисе треугольника AOC, поэтому она делит сторону AC пополам. Также, точка O лежит на биссектрисе треугольника BOD, значит она делит сторону BD пополам. Следовательно, точка O - середина отрезка MH.

г) Радиус окружности вписанной в треугольник AOD равен btg((угол AOD)/2), радиус окружности вписанной в треугольник BOC равен atg((угол BOC)/2).