Дан некоторый острый угол α=60∘. На одной из его сторон отмечены точки A1и A2, на другой стороне отмечена точка B.
Вершина угла — Н. Известно, что HA1=2, A1A2=8. При какой величине отрезка HB величина острого угла между прямыми A1B и A2B будет максимальна? Ответ введите с точностью до десятитысячных.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть отрезок HB равен х, в этом случае длина отрезка HA2 равна 10-х.

Теперь рассмотрим треугольник HAA1. Из него можем найти угол α1:

cos(α1) = HA1/A1A = 2/8 = 1/4
α1 = arccos(1/4) ≈ 75.5225°

Аналогично для треугольника HAA2:

cos(α2) = HA2/A2A = (10-x)/8
α2 = arccos((10-x)/8)

Таким образом, у нас получается, что величина острого угла между прямыми A1B и A2B равна α1+α2. Найдем ее как функцию переменной x:

f(x) = α1 + α2 = 75.5225° + arccos((10-x)/8).

Теперь найдем максимум этой функции f(x). Для этого продифференцируем f(x) и приравняем к нулю:

f'(x) = -1/(8sqrt(1-((10-x)/8)^2)) = 0

Отсюда получаем:

(10-x)/8 = 1
10-x = 8
x = 2

Следовательно, чтобы величина острого угла между прямыми A1B и A2B была максимальна, отрезок HB должен быть равен 2. Острый угол будет равен примерно 114.2096°.