В ромбе ABCD острый угол равен α, радиус окружности, описанной около
треугольника ABC, равен R. Найти площадь ромба.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим сторону ромба через а. Так как острый угол в ромбе равен α, то в треугольнике ABC угол при вершине C равен α/2.

Так как треугольник ABC - остроугольный, то его треугольник острый, а значит, точка О - центр описанной окружности треугольника ABC, лежит внутри треугольника ABC. Поэтому она лежит внутри треугольника ACD и внутри треугольника CDB.

Рассмотрим треугольник ADO. Так как OD - радиус окружности, то AD = 2R. Так как угол AOD = 180 - α, то из синусов угла A мы получаем, что AD = 2R = asin(α).
Отсюда a = 2R/sin(α), а площадь ромба равна S = a^2sin(α) = (2R)^2 = 4R^2.