В треугольнике АВС известно, что АВ : АС = 2 : 5. Медиана ВМ пересекает биссектрису АК в точке Т. Прямая СТ пересекает сторону АВ в точке Р. Найдите отношение АР : РВ.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть АВ = 2x, АС = 5x. Так как медиана делит сторону пополам, то ВМ = МС = 2.5x. Пусть АК = КС = у.

Треугольники АМТ и АКТ подобны по двум углам, так как углы при М и К прямые, и один общий угол при А. Следовательно, отношение сторон этим треугольников равно:

2.5x / (2.5x + у) = у / (у + 5x)

Решая это уравнение, найдем, что у = 4x. Теперь, по свойствам биссектрис в треугольнике АКС, получаем, что СР / РВ = АС / АВ = 5x / 2x = 5 / 2.

Наконец, используя подобные треугольники, найдем, что АР / РВ = (у - АР) / (РВ + у) = 1 / 2.

Теперь можем подставить у = 4x и решить это уравнение, чтобы найти, что АР : РВ = 1 : 2.