Теорема Фалеса утверждает, что если из вершины прямоугольного треугольника опустить высоту на гипотенузу, то полученные отрезки также являются гипотенузами других подобных прямоугольных треугольников, а их катеты относятся как гипотенуза к катету.
Доказательство:
Пусть ABC - прямоугольный треугольник, где угол C прямой. Пусть H - основание высоты, опущенной из вершины C на гипотенузу AB.
Треугольники AHC и BHC являются прямоугольными, так как AC и BC - катеты, а AH и BH - гипотенузы. Также, угол AHC и BHC прямой, так как они смежные с углом C.
Теперь рассмотрим треугольники AHC и ABC. Они подобны, так как углы C и A прямые (им соответствуют) и угол ACH общий. Также, соотношение сторон в этих треугольниках следующее: AH/AC = AC/AB (по теореме подобия треугольников).
Последнее равенство можно записать в виде AHAB = AC^2. То же самое можно сделать для треугольника BHC и получить BHAB = BC^2.
Из этих двух равенств видно, что AHAB = BHAB = AC^2 = BC^2, что означает, что отрезки AH и BH являются высотами других прямоугольных треугольников, подобных треугольнику ABC. Также, отрезки AC и BC являются их гипотенузами, а соотношения сторон AH/AC и BH/BC также соблюдаются. Таким образом, теорема Фалеса доказана.
Теорема Фалеса утверждает, что если из вершины прямоугольного треугольника опустить высоту на гипотенузу, то полученные отрезки также являются гипотенузами других подобных прямоугольных треугольников, а их катеты относятся как гипотенуза к катету.
Доказательство:
Пусть ABC - прямоугольный треугольник, где угол C прямой. Пусть H - основание высоты, опущенной из вершины C на гипотенузу AB.
Треугольники AHC и BHC являются прямоугольными, так как AC и BC - катеты, а AH и BH - гипотенузы. Также, угол AHC и BHC прямой, так как они смежные с углом C.
Теперь рассмотрим треугольники AHC и ABC. Они подобны, так как углы C и A прямые (им соответствуют) и угол ACH общий. Также, соотношение сторон в этих треугольниках следующее: AH/AC = AC/AB (по теореме подобия треугольников).
Последнее равенство можно записать в виде AHAB = AC^2. То же самое можно сделать для треугольника BHC и получить BHAB = BC^2.
Из этих двух равенств видно, что AHAB = BHAB = AC^2 = BC^2, что означает, что отрезки AH и BH являются высотами других прямоугольных треугольников, подобных треугольнику ABC. Также, отрезки AC и BC являются их гипотенузами, а соотношения сторон AH/AC и BH/BC также соблюдаются. Таким образом, теорема Фалеса доказана.