В квадрате ABCD на стороне AD, равной 12, внутри квадрата построили равнобедренный треугольник ADM с углами при основании AD равными 15°. Найдите периметр треугольника BMC.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем боковую сторону равнобедренного треугольника ADM. Угол при основании равен 15°, следовательно, другие два угла равны 180° - 15°*2 = 150°. Так как треугольник ADM равнобедренный, то у него два угла при основании равны 75°. Таким образом, у треугольника ADM два угла в 75° и один угол в 30°. Поскольку сумма углов в треугольнике равна 180°, то третий угол треугольника ADM равен 180° - 75° - 75° = 30°.

Так как два треугольника BDM и ADM прямоугольные и у них совпадают углы при вершине D, то они равны. Значит, угол BDM равен 15°. Таким образом, мы имеем два прямоугольных треугольника с углами 90°, 15° и 75°, а также общим катетом MD и гипотенузой BM.

Из прямоугольного треугольника ADM найдем сторону DM:
DM = 12 * sin 15° ≈ 3.09.

Так как треугольники BDM и ADM являются равнобедренными, то отношение гипотенузы к катету в этих треугольниках равно отношению катета к другой стороне равнобедренного треугольника. Тогда задача сводится к тому, чтобы найти отношение гипотенузы к катету в прямоугольном треугольнике с углами 90°, 15° и 75°:
BM/DM = cos 15°.

Тогда отсюда найдем сторону BM:
BM = DM * cos 15° ≈ 2.98.

Найдем периметр треугольника BMC, используя полученные стороны:
Периметр = BM + BM + BC = 2 BM + BC = 2 2.98 + 3.09 = 8.05.

Ответ: Периметр треугольника BMC приблизительно равен 8.05.