Окружность пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС в точках К и Р соответственно и происходит через вершины В и С найдите длину отрезка КР если АР =30 а строны ВС в 1,2 раза меньше стопоны АВ
Пусть сторона треугольника ABC равна a. Таким образом, стороны ВС равны 0,6a, так как они в 1,2 раза меньше стороны АВ.
Так как окружность, проходящая через вершины В и С, пересекает сторону АВ в точке К, а сторону AC в точке P, то треугольник ABC является описанным вокруг окружности.
Из свойства описанного окружности угол ACB равен удвоенному углу AKB, а угол ABC равен удвоенному углу AKP.
Теперь вспомним теорему косинусов для треугольника. Посмотрим на треугольник ABK.
AK^2 = AB^2 + BK^2 - 2 AB BK * cos(angle AKB)
Аналогично для треугольника AKP:
AP^2 = AC^2 + CP^2 - 2 AC CP * cos(angle ACP)
Так как AK = AP = 30:
AB^2 + BK^2 - 2 AB BK cos(angle AKB) = AC^2 + CP^2 - 2 AC CP cos(angle ACP)
Так как AB = a и AC = a, и BC = 0,6a:
a^2 + BK^2 - 2 a BK cos(angle AKB) = a^2 + CP^2 - 2 a CP cos(angle ACP)
BK^2 - 2 a BK cos(angle AKB) = CP^2 - 2 a CP cos(angle ACP)
Теперь, так как углы ACB и AKB равны, а углы ABC и AKP равны, cos(angle AKB) = cos(angle ACP).
Таким образом, BK^2 = CP^2.
Тогда BK = CP.
Так как треугольник BKC является равнобедренным, то угол BCK равен углу CBK. Таким образом, треугольник ABC является равнобедренным.
Пусть BC = 0,6a.
Тогда BC = 6 и AB = AC = 10
Из Пифагоровой теоремы для равнобедренного треугольника, BK = CK = р = 8.
Пусть сторона треугольника ABC равна a. Таким образом, стороны ВС равны 0,6a, так как они в 1,2 раза меньше стороны АВ.
Так как окружность, проходящая через вершины В и С, пересекает сторону АВ в точке К, а сторону AC в точке P, то треугольник ABC является описанным вокруг окружности.
Из свойства описанного окружности угол ACB равен удвоенному углу AKB, а угол ABC равен удвоенному углу AKP.
Теперь вспомним теорему косинусов для треугольника. Посмотрим на треугольник ABK.
AK^2 = AB^2 + BK^2 - 2 AB BK * cos(angle AKB)
Аналогично для треугольника AKP:
AP^2 = AC^2 + CP^2 - 2 AC CP * cos(angle ACP)
Так как AK = AP = 30:
AB^2 + BK^2 - 2 AB BK cos(angle AKB) = AC^2 + CP^2 - 2 AC CP cos(angle ACP)
Так как AB = a и AC = a, и BC = 0,6a:
a^2 + BK^2 - 2 a BK cos(angle AKB) = a^2 + CP^2 - 2 a CP cos(angle ACP)
BK^2 - 2 a BK cos(angle AKB) = CP^2 - 2 a CP cos(angle ACP)
Теперь, так как углы ACB и AKB равны, а углы ABC и AKP равны, cos(angle AKB) = cos(angle ACP).
Таким образом, BK^2 = CP^2.
Тогда BK = CP.
Так как треугольник BKC является равнобедренным, то угол BCK равен углу CBK. Таким образом, треугольник ABC является равнобедренным.
Пусть BC = 0,6a.
Тогда BC = 6 и AB = AC = 10
Из Пифагоровой теоремы для равнобедренного треугольника, BK = CK = р = 8.
Таким образом, отрезок КR = 2 * CK = 16.