биссектрисы углов А и В трапеции АВСD пересекаются в точке К. найдите боковую сторону АВ, если АК=8, ВК=6

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной задачи обозначим боковую сторону трапеции АВ через х.

Так как биссектриса угла В делит сторону ВD на отрезки BD и BC в отношении, равном отношению сторон ВК и КС, то есть 6:8 = 3:4, то BD = 3x, а BC = 4x.

Так как биссектриса угла А делит сторону АС на отрезки AC и AD в отношении, равном отношению сторон АК и КС, то есть 8:6 = 4:3, то AC = 4x, а AD = 3x.

Так как отрезки BC и AD параллельны и пересекаются биссектрисой угла В в точке К, то треугольники ABC и KAD подобны, так как у них соответствующие углы равны.

Из подобия треугольников ABC и KAD следует, что:

BC/AD = AC/AK
4x/3x = 4x/8
4/3 = 4/8
3 = 6

Но это неверно, поэтому ошибка кроется в предположении о параллельности отрезков BC и AD.

Исправим ошибку: построим биссектрису угла CD, которая пересечет стороны АВ и CD в точках Е и F соответственно. Обозначим отрезок ЕF через у. Так как треугольник ABC подобен треугольнику KFD, то:

BC/AD = AC/AK
4x/3x = (4x + y)/(8 - y)
4/3 = (4 + y)/(8 - y)

12 - 3y = 4 + y
8 = 4y
y = 2

Тогда EF = AB = x + y = x + 2.

С учетом данного утверждения, получаем:

4/3 = x/(x + 2),
4(x + 2) = 3x,
4x + 8 = 3x,
x = 8.

Итак, боковая сторона трапеции AB равна 8.