В треугольнике ABC проведена высота BD (точка D лежит на стороне AC), причём AB=2CD и BC=2AD. Найдите углы треугольника ABC.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим углы треугольника ABC через A, B и C.
Так как высота перпендикулярна стороне, то треугольники ABC и ABD подобны.
Из подобия треугольников ABC и ABD можем записать следующее:
AB/BC = AD/AB,
2CD/BC = AD/2CD,
CD^2 = AD^2/2,
AD = √2CD.
Также из условия AB = 2CD и BC = 2AD имеем:
AB/CD = 2CD/AD,
2CD/CD = 2CD/√2CD,
√2CD = 2,
CD = 2/√2 = √2.
Тогда AD = √2 * √2 = 2.
Теперь найдем углы треугольника ABC.
В прямоугольном треугольнике ACD:
sin(A) = AD / AC = 2 / √2 = √2,
A = 45°.
В треугольнике ABC:
C = 180° - A = 135°.
Итак, углы треугольника ABC равны 45°, 45° и 90°.