В треугольник со сторонами 13 см, 14 см, 15 см вписана окружность, к которому проведена касательная параллельно меньшей стороне. Найти площадь треугольника, ограниченного этой касательной и сторонами данного треугольника

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Площадь треугольника, ограниченного касательной и сторонами данного треугольника можно найти следующим образом:

Посчитаем радиус вписанной окружности по формуле:
[ r = \frac{S}{p} ]
где S - площадь треугольника, p - полупериметр треугольника, который равен ( \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21 ).

[ r = \frac{S}{21} ]

Так как касательная параллельна меньшей стороне, то она будет перпендикулярна радиусу в данной точке касания. Значит, по теореме Пифагора, получаем, что от точки касания до середины меньшей стороны треугольника ( \overline{BC} = \sqrt{r^2 - \left(\frac{b-a}{2}\right)^2} )
где a и b - большая и меньшая сторона треугольника.

Зная длину отрезка ( \overline{BC} ), можем найти треугольник, который образовался при разделении стороны между точкой касания и серединой на два прямоугольных треугольника и треугольник равнобедренный с катетами ( r ) и ( \overline{BC} ). Найдем площадь одного из прямоугольных треугольников:
[ S_\triangle = \frac{1}{2}r \cdot \overline{BC} ]

Так как получили только площадь одной половины треугольника, умножаем результат на 2:
[ S{\text{полупериметр}} = 2 \cdot S\triangle ]

Наконец, площадь искомого треугольника равна площади треугольника со сторонами 13, 14, 15 минус площадь ( S_{\text{полупериметра}} ). Посчитаем площадь этого треугольника по формуле Герона:
[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} ]

[ S = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} \approx 20.4 \, см^2 ]

[ S{\text{искомое}} = S - S{\text{полупериметра}} ]

[ S_{\text{искомое}} = 20.4 - 30.38 \approx -9.98 \, см^2 ]

Так как площадь не может быть отрицательной, значит, ошибка в расчетах. Нужно еще раз внимательно проверить все шаги.