Длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию с разностью 2. Косинус наименьшего угла этого треугольника равен 4/5. Найдите периметр треугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть длины сторон треугольника будут (x-2), x, (x+2), так как они образуют арифметическую прогрессию.

Так как косинус наименьшего угла равен 4/5, то мы можем найти этот угол с помощью формулы
cos(угол) = (b^2 + c^2 - a^2) / 2bc

Где a, b, c - стороны треугольника, а угол - наименьший угол треугольника.

Подставляя значения, получаем
4/5 = ((x^2 + (x+2)^2 - (x-2)^2) / 2x(x+2)

Упростим формулу и решим уравнение:
4/5 = ((x^2 + (x^2 + 4x + 4) - (x^2 - 4x + 4)) / 2x(x+2)
4/5 = (4x + 4) / 2x(x+2)
8x + 8 = 10x^2 + 20x
10x^2 + 20x - 8x - 8 = 0
10x^2 + 12x - 8 = 0
5x^2 + 6x - 4 = 0
Дискриминант D = 6^2 - 45(-4) = 36 + 80 = 116
Так как D>0, у нас два вещественных корня.

Решив квадратное уравнение, получаем x ≈ 0,546 и x ≈ -1,546. Так как длины сторон не могут быть отрицательными, то x ≈ 0,546.

Периметр треугольника равен (x-2) + x + (x+2) = 3x. Подставим значение x:
Периметр = 3 * 0,546 ≈ 1,638.

Итак, периметр треугольника равен примерно 1,638.