Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 8 и 30 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через
точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC=√15/4Интересует рисунок и решение

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала нарисуем треугольник ABC и точки M, N:

Обозначим радиус окружности через r и дадим ей центр O. Проведем перпендикуляр к стороне AC из точки O и обозначим точку пересечения с AC через D.

Так как окружность проходит через точки M и N и касается луча AB, то OM = ON = r.

Посмотрим на треугольник OMD.

Так как треугольники OMD и OAD подобны (по признаку "угол-прямая-угол"), то:

OD/OM = AD/AO

OD/r = (30-r)/r

OD = r*(30-r)/r = 30 - r

Теперь взглянем на треугольник OND:

cos∠BAC = OD/OD = (30-r)/r

Так как cos∠BAC = √15/4, то:

(30-r)/r = √15/4

Решаем уравнение:

4(30-r) = r√15

120 - 4r = r√15

120 = r(4 + √15)

r = 120 / (4 + √15) ≈ 14.69

Итак, радиус окружности примерно равен 14.69.