Точки M, N, K, L - середины сторон равнобедренной трапеции ABCD. Докажите, что MNKL - ромб.
Прошу с пояснением

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из условия задачи следует, что AM = MB, BN = NC, CK = KD, DL = LA. Так как M, N, K, L - середины сторон равнобедренной трапеции ABCD, то MN || AD, NK || AB, KL || CD, ML || BC и все эти прямые пересекаются в единой точке O - центр тяжести ABCD. Таким образом, мы имеем параллелограмм MNKL, так как противоположные стороны параллельны и равны. Докажем, что фигура MNKL является ромбом.

Докажем, что все стороны фигуры равны:
MO = \frac{1}{2} AD, NO = \frac{1}{2} AB, KO = \frac{1}{2} CD, LO = \frac{1}{2} BC

Так как в трапеции соответственные стороны равны, то
MO = \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} BC, NO = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} CD, KO =\frac{1}{2} CD = \frac{1}{2} AB, LO = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} AD

Следовательно MO = NO = KO = LO.

Докажем, что углы фигуры равны:
\angle MON = \angle KON = \angle NOL = \angle MOL = 180^\circ - \angle ABC - \angle BAD

Таким образом, у фигуры MNKL все стороны равны и все углы равны, что и означает, что эта фигура является ромбом.