Окружность касается стороны BC треугольни-ка ABC в точке M, а продолжений сторон AB и AC — вточках N и P соответственно. Вписанная в этот треугольникокружность касается стороны BC в точке K, а стороны AB —в точке L. Докажите, что: BK = CM

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что треугольник KBC подобен треугольнику MPC по пропорциональности сторон (так как оба треугольника имеют общий угол при вершине C и построены на одной прямой).

Также треугольники KBL и NCL подобны по той же причине.

Теперь найдем отношение сторон треугольников KBL и NCL:
BL/KL = CN/NL.

Аналогичным образом найдем отношение сторон треугольников KBC и MPC:
CM/BC = MP/KP = KP/BC.

Так как треугольники KBC и MPC подобны, а треугольники KBL и NCL подобны, то BK/BL = BC/CN.

Подставим найденные отношения и получим:
BK/BL = BC/CN,
BK = BC \cdot BL/CN.

Теперь заметим, что BL = BP - PL, CN = CP - PN, BC = BP + PC. Подставим это в предыдущее равенство:
BK = (BP + PC) \cdot (BP - PL) / (CP - PN),
BK = BP^2 - BP \cdot PL + PC \cdot BP - PC \cdot PL / (CP - PN),
BK = BP^2 - BP \cdot (PL + PC) - PC \cdot PL / (CP - PN),
BK = BP^2 - BP \cdot CL - PC \cdot PL / (CP - PN),
BK = BP^2 - BP \cdot CL,
BK = BP \cdot (BP - CL),
BK = BP \cdot PL.

Так как PL = LK, то BK = BP \cdot LK = BP \cdot MK.

Теперь заметим, что треугольник ABC подобен треугольнику MLP. Тогда BM/MP = AB/ML = AB/LK = BC/BK = CM/BK.

Отсюда получаем, что CM = BK, что и требовалось доказать.