Окружность, вписанная в равнобедренную трапецию, делит точкой касания боковую сторону на отрезки длинной 2 см и 32 см. Найдите высоту трапеции.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть ( h ) - высота трапеции, ( a ) и ( b ) - основания, ( s ) - длина боковой стороны. Так как у нас трапеция равнобедренная, то диагонали равны и можно построить равнобедренный треугольник ( AOB ), где ( O ) - центр окружности, касающийся стороны ( BC ). Тогда, ( OA = OB = r ), где ( r ) - радиус окружности.

Так как точка касания делит боковую сторону на отрезки длинной 2 см и 32 см, то ( AB = 2 ) см и ( BC = 32 ) см. По теореме Пифагора для треугольника ( AOB ) получаем:

[ r^2 + h^2 = 2r^2 ]

[ h^2 = r^2 ]

Также, так как точка касания дает нам равенство сторон трапеции, то ( h = \frac{a+b}{2} ). Тогда:

[ r^2 = \left( \frac{a+b}{2} \right)^2 ]

[ 2r^2 = a^2 + 2ab + b^2 ]

Так как ( a = b ) (так как трапеция равнобедренная), то:

[ 2r^2 = 2a^2 + 2a^2 = 4a^2 ]

[ r^2 = 2a^2 ]

Таким образом, ( h^2 = r^2 = 2a^2 ), откуда ( h = a\sqrt{2} ). Так как ( a = 2 ) см, то высота трапеции равна ( h = 2\sqrt{2} ) см.