34) Медиана и высота, проведенные к гипотенузе прямоугольного треугольника равны соответственно 7,5 см и 7,2 см. Найти катеты.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a и b, гипотенуза равна c.

Так как медиана, проведенная к гипотенузе, делит её на две равные части, можно заметить, что треугольник разбивается на два прямоугольных треугольника с катетами a/2 и b/2, гипотенуза в обоих треугольниках равна 7.5 см.

Таким образом, из теоремы Пифагора для каждого из треугольников, имеем:

(a/2)^2 + (b/2)^2 = 7.5^2
a^2/4 + b^2/4 = 56.25
a^2 + b^2 = 225

Также, используя формулу для высоты, проведенной к гипотенузе прямоугольного треугольника, имеем:

(ab)/c = 7.2
ab = 7.2*с

Заметим, что из уравнения a^2 + b^2 = 225 следует, что a^2 = 225 - b^2. Подставляя это в уравнение ab = 7.2c, получаем:

(225 - b^2)b = 7.2c
225b - b^3 = 7.2*c
b^3 - 225b + 7.2c = 0

Теперь можно решить эту кубическую функцию для b, а затем вычислить a.