Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Точка M - середина стороны BC. Отрезок AM пересекается с диагональю BD в точке L, а отрезок DM пересекается с диагональю AC в точке N. Найдите площадь четырёхугольника KLMN, если известно, что площадь параллелограмма ABCD равна 60.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Площадь четырёхугольника KLMN равна половине площади параллелограмма ABCD.

Обозначим через P площадь треугольника ABD.
Тогда площади треугольников ABC, ABD, BCD и CDA равны между собой.
Так как M - середина стороны BC, то площадь треугольника ABM равна половине площади треугольника ABC и равна P/2.
Аналогично площадь треугольника ABD равна P/2.

Теперь обратимся к отрезку AM, который разделяет треугольник ABD на два треугольника: ABM и BMD.
Площадь треугольника BMD равна P/2, так как M - середина стороны BC.
Следовательно, площадь треугольника ABM также равна P/2.

Далее, зададим отношение площадей треугольников MBK и ABM как х : 1, где х - некоторое число.
Так как высоты этих треугольников относительно основания MB равны, то отношение их площадей равно отношению оснований:
P/2 : P/2 = x : 1,
x = 1.

Таким образом, площадь треугольника MBK равна P/2.

Аналогично, площадь треугольника AMD также равна P/2.

Таким образом, площадь четырёхугольника KLMN равна площади треугольника ABD, то есть P = 60.
Следовательно, площадь четырёхугольника KLMN равна 30.