Сторона АС треугольника АВС равна 9. Медианы AА1 и СС1 пересекаются в точке О. Через точку О проведена прямая, параллельная АС. Эта прямая пересекает стороны АВ и ВС соответственно в точках M и N.
Найдите:
-длину отрезка MN
-отношение BN:NC
-отношение площади треугольника АВС к площади треугольник BMN

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку отрезок MN параллелен стороне AC, то треугольники BMN и ABC подобны. Из подобия треугольников следует, что соответствующие стороны пропорциональны. Так как сторона AC равна 9, то сторона MN будет равна 9.

Пусть длины отрезков CN и BN равны x и y соответственно. Так как точка O является центром тяжести треугольника ABC, то середины сторон AB и AC делят соответственно медиану CC1 и длину CN в отношении 2:1. Следовательно, CN = 3x. Аналогично, BN = 6y.

Отношение BN:NC равно 6y:3x = 2y:x.

Отношение площадей треугольников ABC и BMN равно отношению квадратов сторон в подобных треугольниках, то есть (MN/AC)^2. Поскольку MN = 9 и AC = 9, получаем отношение площадей треугольников ABC и BMN равно 1:1.