Докажите, что всякий треугольник можно разрезать на 3 меньших тупоугольных треугольника. Докажите, что всякий треугольник можно разрезать на 2018 меньших тупоугольных треугольников. При каких натуральных N произвольный треугольник заведомо можно разрезать на N меньших тупоугольных треугольника

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала докажем, что любой треугольник можно разрезать на 3 меньших тупоугольных треугольника. Возьмем любой треугольник ABC и построим высоты AD, BE, CF. Таким образом, мы разделили исходный треугольник на 3 более мелких треугольника: ADB, BEC и CFA. При этом каждый из них будет тупоугольным (так как угол в вершине треугольника больше 90 градусов).

Теперь докажем, что всякий треугольник можно разрезать на 2018 меньших тупоугольных треугольников. Мы уже разобрали случай с делением на 3 треугольника, теперь рассмотрим деление каждого из полученных треугольников на 3 части. Повторяя этот процесс 10 раз, мы получим разбиение исходного треугольника на 3^10 = 59049 меньших треугольников. Очевидно, что 59049 > 2018, следовательно, исходный треугольник можно разрезать на 2018 меньших тупоугольных треугольников.

Если требуется разрезать произвольный треугольник на N меньших тупоугольных треугольников, то условия решения задачи зависят от формы и размеров исходного треугольника. Однако в общем случае можно сказать, что треугольник можно разрезать на N меньших треугольников, если количество точек пересечения внутренних отрезков разрезания (кроме вершин треугольника) равно N-2. То есть, если N = 3, нужно иметь 1 точку пересечения, если N = 4 - 2 точки, и так далее.