В трапеции abcd bc = 8, cd = 10, ac = 16. найдите остальные стороны и площадь трапеции, если ac – биссектриса ее угла

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

По свойствам трапеции, биссектриса угла трапеции делит боковую сторону на отрезки пропорциональные основаниям трапеции. Обозначим точку пересечения биссектрисы и боковой стороны как E.

Пусть AE = x, то EC = 16 - x.

Так как AE является биссектрисой угла, то отношение AC к CE равно отношению AB к BD:
AB / BD = AC / CE
8 / x = 16 / (16 - x)

Отсюда, получаем:
8(16 - x) = 16x
128 - 8x = 16x
128 = 24x
x = 128 / 24 = 2/3

Теперь можем найти оставшиеся стороны трапеции:

AB = BC + AE = 8 + 2/3 = 26/3
AD = CD = 10
BD = BC + CD = 8 + 10 = 18

Теперь для нахождения площади трапеции используем формулу:
S = (AB + AD) * h / 2

где h - высота трапеции. Так как AC - биссектриса, то CE - высота. Найдем CE через теорему Пифагора в треугольнике ACE:
CE = √(AC^2 - AE^2) = √(16^2 - (2/3)^2) = √(256 - 4/9) = √(256*9 - 4) / 9 = √(2304 - 4) / 3 = √2300 / 3 = 10√23 / 3

S = (AB + AD) CE / 2 = (26/3 + 10) 10√23 / 6 = 36/3 * 10√23 / 6 = 120√23 / 6 = 20√23
Итак, стороны трапеции: AB = 26/3, AD = 10, BC = 8, CD = 10, площадь трапеции S = 20√23.