Диагональ AC параллелограмма ABCD служит диаметром окружности, которая пересекает стороны AD и CD в точках E и F соответственно. Найти площадь параллелограмма, если известно, что AE : ED = 2 : 7, CF=18 см, DF= 3 см

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть точка O - центр окружности. Так как диагональ AC является диаметром, то треугольник AOC прямоугольный и пропорция AO : OC = AE : ED = 2 : 7. Значит, AO = 2x, OC = 7x. Тогда AC = 2x + 7x = 9x.

Так как AC является диаметром окружности, то радиус окружности равен половине длины диаметра: r = 9x / 2.

Так как точки E и F лежат на окружности, то угол AEF прямой. Тогда треугольник AEF также является прямоугольным. По теореме Пифагора в этом треугольнике:

AF^2 + EF^2 = AE^2.

Заменяем известные значения:

(18)^2 + (3)^2 = AE^2.

AE = √(324 + 9) = √333.

Теперь найдем площадь параллелограмма ABCD. Площадь параллелограмма определяется по формуле:

S = AC * h,

где h - высота параллелограмма, опущенная на сторону CD. Она равна радиусу окружности r.

S = 9x * (9x / 2) = (81/2)x^2.

Найдем x. Внутри треугольника AEF рассмотрим теорему Пифагора:

(√333)^2 = (7x - 2x)^2 + (18)^2,

333 = 25x^2 + 324,
25x^2 = 9,
x = 3/5.

Тогда площадь параллелограмма:

S = (81/2) (3/5)^2 = 81/2 9/25 = 81/5 = 16.2.

Итак, площадь параллелограмма ABCD равна 16.2 квадратных см.