Дан четырёхугольник MNPK диагонали которого MP и NK пересекаются. Докажите, что вершины M, N, P, K лежат в одной плоскости. Найдите площадь этого четырёхугольника если MP перпендикулярно NK, MN=44, NK=11

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства того, что вершины M, N, P, K лежат в одной плоскости, достаточно показать, что если MP и NK пересекаются, то они пересекаются в одной точке, и значит все четыре точки лежат на одной плоскости.
Для этого проведем высоту из вершины P на диагональ MN. Поскольку MP перпендикулярно NK, то треугольники MNP и NKP подобны. Поэтому PN/KN = MP/NP. Имеем PN/11 = 44/NP, откуда NP = 44 11 / PN. Так как NP = 44, получаем PN = 121.
Теперь, из подобия треугольников MNP и NKP, следует, что угол NKP = углу NMP, и следовательно M, N, P, K лежат на одной прямой.
Площадь четырехугольника MNPK равна сумме площадей треугольников MNP и NKP. Площадь треугольника MNP = 0.5 MN NP = 0.5 44 121 = 2662. Площадь треугольника NKP = 0.5 NK KP = 0.5 11 * 121 = 665.
Таким образом, площадь четырехугольника MNPK равна 2662 + 665 = 3327.