В параллелограмме ABCD точка М — середина стороны ВС, отрезки BD и AM пересекаются в точке О. а)° Выразите AM через AB и AD. б) Выразите BO через BA и BC. в) Выразите OD через AP и AM, если Р — середина отрезка CD. г)* Докажите, что OP < 2/3 AD + 1/6 АВ, если Р — середина отрезка CD.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Так как М — середина стороны BC, то AM = MC = 1/2 BC. Также, по теореме о параллельных линиях, отрезки BD и AM cuts each other in point O. Так как M — середина стороны BC, то AM // BD и MO = AO = 1/2 BD.
Следовательно, AM = 1/2 BC = 1/2 (AB + BC) = 1/2 AB + 1/2 BC.

б) Так как O — точка пересечения BD и AM, то AD // BC. Из подобия треугольников ABD и BOC следует, что BD/AD = OC/BC => BD = ADOC/BC = AD(AB + BC)/(AB + AD). Также, поскольку MO = AO и OD = OC, то треугольники AOM и BOC равнобедренные, а значит BC = 2BO. Таким образом, BD = 2ADBO/(AB + AD) => BO = BD(AB + AD)/(2AD) = 1/2 BD*(AB + AD)/AD = 1/2 BC.

в) По условию, P — середина отрезка CD, следовательно, DP = PC и точки O, P, D коллинеарны. Так как MO = AO = 1/2 BD и BD = 2OD, то OD = 1/4 BD = 1/4 * 2AD = 1/2 AD.

г) По теореме Менелая для треугольника ABD, лежащего на прямых MO и PC: BD AO MC = BO AC DM => 2OD 1/2 AB 1/2 BC = BO AD DP => OD AB AD = BO AD DP => 1/2 AD AB AD = BO AD 1/2 AD => AB AD = 2BO * AD.
Отсюда следует, что OP = OD + DP = 1/2 AD + 1/2 AD = AD. Таким образом, OP < 2/3 AD + 1/6 AB.