На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку Е. Докажите, что сумма площадей треугольников ВЕС и АЕD равна половине площади трапеции.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим точку пересечения средней линии и диагонали AC за F.

Так как EF параллельна AD, то EF параллельна и BC (так как AD и BC параллельны). Тогда EF параллельна и AB.

Таким образом, треугольники ВЕС и АЕD подобны треугольнику FAD. Пусть EF=kAD. Тогда CF=(1-k)AD. Так как F лежит на средней линии, то F=(C+D)/2.

Теперь рассмотрим площадь трапеции ABCD. Мы можем разложить ее на два треугольника: FAD и FBC. Площадь трапеции равна:

S(ABCD) = S(FAD) + S(FBC) = (1/2)ADFD + (1/2)BCCF = (1/2)ADAD(1-k) + (1/2)BC*(C+D)/2

Так как ADAD/2=(ADAD(1-k))/2, то это равно:

S(ABCD) = (1/2)ADAD/2 + (1/2)BC(C+D)/2 = (1/2)ADAD/2 + (1/2)BC(AD+BC)/2 = (1/2)(ADBC+BCAD)/2 = (1/2)BC*AD

Теперь рассмотрим площадь треугольников ВЕС и АЕD:

S(BEC) + S(AED) = S(FBC) + S(FAD) = (1/2)BCCF + (1/2)ADFD = (1/2)BC((1-k)AD) + (1/2)AD(kAD) = (1/2)BCAD + (1/2)BCAD = (BC*AD)/2

Таким образом, сумма площадей треугольников ВЕС и АЕD действительно равна половине площади трапеции ABCD.