Продолжения боковых сторон АВ СД трапеции АВСD пересекаются в точке К. Найдите площадь трапеции АВСД, если известно, что ВС: АД = 3: 5, а площадь треугольника ВСК равна 27 см^2 .

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим BC = 3x, СD = 5x.

Так как треугольник ВСК является подобным треугольнику ВАD, то можно записать:
\frac{BC}{AB} = \frac{CK}{DK} = \frac{VK}{VK} = \frac{BC}{AD} = \frac{3}{5},где VK - высота трапеции.

Таким образом, DK = 5/8 DC = 5/8 5x = 25x/8, KC = 3/8 BC = 3/8 3x = 9x/8.

Площадь треугольника ABC можно найти через площадь треугольника ВСК по формуле:
S_tri(ABC) = S_tri(VCK) = S_tri(VDK) = S_tri(DCK) = 27 * 4 = 108 см^2.

Таким образом, S_trap(ABCD) = AB VK = (AB + DC) VK = (AB + 5x) 8/5 27/4 = 108,
получаем, что AB + 5x = 32.

Так как VK является высотой трапеции, то
VK = (5x - 3x) VK/ DC = 2x VK / 5x = 2/5 * VK = 54/5 = 10.8 см.

Площадь трапеции равна S_trap(ABCD) = (AB + DC) VK/2 = 16 10.8 / 2 = 86.4 см^2.