Продолжение боковых сторон АВ и СD трапеции ABCD пересекаются в точке К. Найдите площадь трапеции ABCD, если известно, что BC:AD=3:5, а площадь треугольника ВСК равна 27см^2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть BC = 3x, AD = 5x, AK = m, CK = n.

Так как треугольники ВСК и АКД подобны, поэтому VK = 3m/5 и DK = 5n/3.

Тогда S(ABCD) = 27 + многое = S(ВКС) + S(АКD) + S(АВК) = 27 + (1/2)3mn/2 + (1/2)5mn/2 + (1/2)(3x)(3m/5)) = 27 + (15mn/4) + (15mn/4) + (9xm/5).

Так как AK = m + n, а ВС = 3x, по теореме Пифагора:

(5x)^2 = (m + n)^2 + (3x)^2,
25x^2 = m^2 + n^2 + 6mn + 9x^2,
16x^2 = m^2 + n^2 + 6mn.

Таким образом, мы нашли значение (mn).
S (ABCD) = (27) + (15(mn)/4) + (15(m*n)/4) + (9x(1/5)) = 27 + (15(m^2 + n^2 + 6mn))/4 + (9xm)/5,
S (ABCD) = 27 + (15(16x^2))/4 + 9x(4x)/5,
S (ABCD) = 27 + 240x/4 + (10x)/5,
S (ABCD) = 27 + 60x + 2x,
S (ABCD) = 27 + 62x.

Таким образом, S(ABCD) = 27 + 62x.