Из точки вне окружности проведена секущая, пересекающая окружность в точках, удаленных от данной на 12 см и 20 см. Расстояние от данной точки до центра окружности равно 17 см. Найти радиус окружности.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть точка, из которой проведена секущая, обозначается как A, радиус окружности - R, а точки пересечения секущей с окружностью - B и C (BC - линия секущей).
Так как ACB и ACR - правильные треугольники (так как стороны правильных треугольников - радиусы окружности), то AB = R - 12 и AC = R - 20.

Так как центр окружности O находится внутри треугольника ABC, то AO - медиана треугольника ABC.
Так как медиана делит сторону треугольника пополам, то AO = OC = AC / 2 = (R - 20) / 2.

С учетом того, что AC = (R - 20), AC = 2 AO.
Тогда по теореме Пифагора для треугольника AOC:
AC^2 = AO^2 + OC^2.
(R - 20)^2 = ((R - 20) / 2)^2 + ((R - 20) / 2)^2.
(R - 20)^2 = 2 ((R - 20) / 2)^2.
(R - 20)^2 = 2 ((R - 20)^2) / 4.
(R - 20)^2 = (R - 20)^2 / 2.
Умножаем обе части на 2 и раскрываем скобки:
2 (R - 20)^2 = (R - 20)^2.
2 ((R - 20)^2) = (R - 20) (R - 20).
2 * R^2 - 80R + 800 = R^2 - 40R + 400.
R^2 - 40R + 400 = 0.
(R - 20)^2 = 0.
R - 20 = 0,
R = 20.

Таким образом, радиус окружности равен 20 см.