Прямая AB касается окружности с центром O в точке B. Найдите AO, если радиус окружности – 3 см, а хорда, один конец которой совпадает с точкой касания, а второй – с точкой пересечения окружности и прямой AO, стягивает дугу 30°.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим точку пересечения хорды и прямой AO как C.

Так как хорда стягивает дугу в 30°, то угол BAC равен половине этой дуги, то есть 15°.

Также, так как прямая AB касается окружности, то угол ABC равен 90°.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Так как угол ABC прямой, то по теореме Пифагора получаем:

AC^2 = AB^2 + BC^2

AC^2 = r^2 + r^2 (так как треугольник ABC – прямоугольный)

AC^2 = 2r^2

AC = r√2 = 3√2

Теперь рассмотрим треугольник AOB. Так как угол BAO равен 15°, то угол OAB равен 75°.

Также, угол AOB равен 90° (так как AB – касательная). Значит, угол OBA равен 180° - 75° - 90° = 15°.

Теперь рассмотрим треугольник OAB. Применяя закон синусов, получаем:

AO/sin(75°) = 3/sin(15°)

AO = 3sin(75°)/sin(15°) = 3(√(2+√3))/√2/√3 = 3(√(2+√3))/√6 = 3√(2+√3)√6/6 = 3√(2+√3)/√6 = √6*(2+√3) ≈ 3.46 см

Итак, AO ≈ 3.46 см.