В прямом параллелепипеде стороны основания 3 см и 5 см, а одна из диагоналей основания 4 см. Найдите большую диагональ параллелепипеда, зная, что меньшая диагональ образует с плоскостью основания угол 60°.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Рассмотрим прямоугольную трапецию, образованную большей и меньшей диагоналями параллелепипеда и плоскостью основания. Пусть $AC$ и $BD$ - диагонали основания длиной 3 см и 5 см, а $AB$ и $CD$ - диагонали параллелепипеда.

Известно, что диагональ основания в этой трапеции равна 4 см. Также известно, что угол между меньшей диагональю параллелепипеда и плоскостью основания равен 60°.

Так как угол между меньшей диагональю параллелепипеда и плоскостью основания равен 60°, то этот же угол равен 30° в треугольнике $ACD$.

Теперь можем применить закон косинусов к треугольнику $ACD$:
$$AD^2 = AC^2 + CD^2 - 2 \cdot AC \cdot CD \cdot \cos 30°.$$

Подставляем известные значения:
$$AD^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos 30°.$$
$$AD^2 = 9 + 25 - 30 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}.$$
$$AD^2 = 34 - 15\sqrt{3}.$$

Теперь, зная $AD$, можем найти $AB$ - то есть большую диагональ параллелепипеда.

Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором:
$$AB^2 = AC^2 + AD^2 = 3^2 + (34 - 15\sqrt{3}).$$
$$AB^2 = 9 + 34 - 30\sqrt{3}.$$
$$AB^2 = 43 - 30\sqrt{3}.$$

Ответ: большая диагональ параллелепипеда равна $\sqrt{43 - 30\sqrt{3}}$ см.