6. Вокруг правильного треугольника описана окружность и в неё вписана окружность. Площадь большего круга составляет 64 см2. Найдите площадь треугольника.7. Составить уравнение окружности с центром на прямой х = -3, которая касается оси Оу в точке (0;2).

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Площадь большего круга равна сумме площадей вписанной и описанной окружностей. Пусть радиус вписанной окружности равен r1, а радиус описанной окружности равен r2. Тогда площадь вписанной окружности равна πr1^2, площадь описанной окружности равна πr2^2, и известно, что πr2^2 - πr1^2 = 64 см^2. Также известно, что r1 + r2 - сторона правильного треугольника.

Из соотношений для прямоугольного треугольника r1 + r2 = r2 * sqrt(2), подставляя эту формулу в уравнение πr2^2 - πr1^2 = 64, получаем:

π(r2^2 - (r2 sqrt(2) - r2)^2) = 64
π(2r2^2 - 2r2^2sqrt(2)) = 64
2*r2^2(1 - sqrt(2)) = 64
r2^2 = 32 / (1 - sqrt(2))

Зная радиус описанной окружности r2, можем найти площадь правильного треугольника через S = a^2 sqrt(3) / 4, где a - сторона треугольника, равная 2r2 sqrt(2). Подставив выражение для r2, получаем:

S = (2 sqrt(2) sqrt(32 / (1 - sqrt(2)))^2 * sqrt(3)) / 4

S = 32 3 2 / (4 (1 - sqrt(2)))
S = 48 / (4 - 4 sqrt(2))
S = 48 / (4 - 4 * sqrt(2))
S = 12 / (1 - sqrt(2))
S = 12(1 + sqrt(2))

Ответ: площадь правильного треугольника равна 12(1 + sqrt(2)).

Уравнение окружности с центром в точке (-3; y₀) и радиусом r можно записать в виде:

(x + 3)^2 + (y - y₀)^2 = r^2

Так как окружность касается оси Oу в точке (0;2), то её радиус должен быть равен 2, а точка (-3; y₀) будет лежать на линии y=2, так как ось Oу является касательной для окружности:

(-3 + 3)^2 + (y₀ - 2)^2 = 2^2
(y₀ - 2)^2 = 4
y₀ - 2 = ±2
y₀ = 4 или y₀ = 0

Таким образом, уравнения окружности будут иметь вид:

1) (x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 4
2) (x + 3)^2 + y^2 = 4

Ответ: Уравнения окружностей с центром на линии y=4 и y=0, касающиеся оси Oу в точке (0;2) будут соответственно (1) и (2) указанные выше.